Новая теория движения парусной яхты

Концепция новой теории движения парусного судна (3 часть) 15.01.2016

Ю.В.Катинов и В.Н.Ноздрачёв Москва, Институт Теоретической и Экспериментальной Физики

Казалось бы: что нового можно рассказать о том, что заставляет двигаться судно под парусами? Вроде бы всё уже сказано, рассмотрено и опубликовано. Но существующие теории несколько противоречивы и не дают ответов на многие вопросы.

Мы публикуем статью, которая полностью меняет концепцию движения парусной яхты и содержит новый подход к описанию её движения. В небольшом цикле из трёх частей мы даём возможность широкой яхтенной аудитории познакомиться с теоретическими разработками Ю.В.Катинова и В.Н. Ноздрачёва и открываем дискуссию на эту тему. Помимо основ теории в материалах статьи вы найдёте методы решения задач яхтенной навигации с использованием полярной диаграммы.

Впервые теория была представлена на Международной Конференции и Школы по стойкости социо-технических систем Resilience 25-28 ноября 2015 г. Доклад опубликован в Трудах Конференции (Изд. ИФТИ, Протвино-Москва, 2015, ISBN 978-5-88835-037-9, С.1-15)

(Окончание, начало см. здесь)

Векторный треугольник скоростей для внешнего ветра

Причины движения парусного судна

Аэростат, метеобуй и берег на этом рисунке дают наглядное представление о формировании внешнего ветра.

Аэростат связан с воздухом (не имеет скорости относительно воздуха).

Наблюдение перемещения аэростата с берега (относительно берега) дает знание о величине и направлении истинного ветра.

Дрейфующий метеобуй связан с водой (конструкция его такова, что он практически не имеет скорости относительно воды).

Наблюдение перемещения метеобуя относительно берега дает знание о течении.

Наблюдение перемещений аэростата относительно метеобуя дает знание о перемещениях воздуха относительно воды, то есть знание о внешнем ветре.

Внешний ветер, причина движения парусного судна складывается из истинного ветра и переносного ветра, являющегося следствием течения.

Заметим, что вектор течения и вектор истинного ветра входят совершенно равноправно (симметрично) в образование внешнего ветра (в яхтенной литературе - яхтенного ветра).

Отметим также, что внешний ветер может быть рассчитан из треугольника скоростей действующего (вымпельного) ветра. Для этого нужно просто измерить скорости потоков воды и воздуха, омывающих яхту.

Внешний ветер может быть определён также на яхте, находящийся в положении левентик, в тот момент, когда яхта остановилась относительно воды.

Внешний ветер можно также рассчитать, зная по метеорологической информации истинный ветер и используя информацию о течении на данной акватории.

Во всех приведённых примерах при определении внешнего ветра присутствует элемент расчёта. Поэтому, ветер, являющийся причиной движения любого парусного судна, можно назвать расчётным – он прямо на парусном судне не наблюдается!

Векторный треугольник скоростей для действующего (вымпельного) ветра

Пространство скоростей

Парусное судно, находясь на акватории, движется с какой-то скоростью по поверхности воды. Движение судна может быть установившимся, когда установлен баланс аэродинамических и гидродинамических сил и судно движется равномерно и прямолинейно, либо неустановившимся – движение с ускорением. Судно также может не иметь скорости относительно поверхности воды. Последнее возможно только, если скорость внешнего ветра ровна нулю.

Рассмотрим пространство скоростей по поверхности воды. Это пространство задаётся вектором – вектором внешнего ветра. Действующий (вымпельный) ветер является векторной суммой внешнего ветра и переносного ветра от движения судна относительно воды. Каждой точке в этом пространстве скоростей соответствует скорость нашего судна по поверхности воды, скорость потока воды, обтекающего судно (равного по величине и направленного противоположно скорости судна) и скорость потока воздуха, обтекающего судно от движения судна по поверхности воды (равного по величине и направленного противоположно скорости судна).

Зелёный вектор в центре рисунка – внешний ветер. Темно-синий вектор – поток воды, омывающий судно. Темно-зелёный вектора – поток воздуха (вымпельный ветер), обдувающий судно. На рисунке представлены две системы окружностей:

· Изумрудные окружности – геометрическое место точек соответствующее постоянству угла между потоками в градусах.

· Лиловые окружности – геометрическое место точек соответствующее постоянству отношения величин скоростей потоков воды и воздуха 1:1, 2:3, 1:2 и т.д..

· Красные точки – возможные положения установившихся движений.

Баланс сил – как источник возможных установившихся движений

Каждой точке в пространстве скоростей соответствуют два обтекающих судно потока – поток воды и поток воздуха. Взаимодействуя с подводной и надводной частью судна, они создают аэродинамическую и гидродинамическую силы. Для движения судна по поверхности воды важны составляющие этих сил в горизонтальной плоскости. В случае равенства горизонтальных составляющих этих сил судно будет находиться в состоянии установившегося движения. Силы, возникающие от взаимодействий предмета с потоком воды и потоком воздуха, одинаковы по природе но возникают от взаимодействия с потоками, отличающимися по плотности примерно в 800 раз.

Сила, возникающая от взаимодействий предмета с потоком, зависит от:

· формы и положения объекта относительно потока;

· характеристик потока;

· площади объекта;

· квадрата скорости потока;

и составляет определённый угол с потоком. Этот угол характеризует аэродинамическое и гидродинамическое качество объекта. Зависимость от формы и положения объекта относительно потока обычно изображается в виде поляр подводной и надводной части. Зная, приведённые выше параметры судна, можно вычислить аэродинамические и гидродинамические силы в каждой точке пространства скоростей и найти область возможных установившихся движений судна по поверхности воды [6]. Задачу определения возможных установившихся движений для данного судна яхтсмены, управляя яхтой, решают постоянно.

На рисунке приведена графическая иллюстрация построения полярной диаграммы из условия равенства гидродинамической и аэродинамической силы.

Яркозелёный – вектор внешнего ветра, синий – вектор потока воды, зеленый – вектор потока воздуха. Эти вектора образуют треугольник скоростей действующего ветра при выполнении условия баланса сил.

Жирная зелёная кривая – поляра аэродинамической силы. Жирная синяя – поляра гидродинамической силы. Кривые, нарисованные тонкими зелёными и синими линиями – те же поляры, повёрнутые навстречу друг другу на угол 90º. Условие баланса сил – касание данных поляр задаёт точку полярной диаграммы (точку схождения векторов потоков воды и воздуха). Чёрная кривая – построенная по этому алгоритму полярная диаграмма для заданных поляр.

Область допустимых скоростей установившихся движений парусного судна

Граница области – полярная диаграмма

При данном внешнем ветре скорости установившегося движения парусного судна относительно воды и воздуха определяются условием баланса сил. Ни одна из сил не может быть равна нулю, значит, скорость парусного судна относительно и воды, и воздуха не может быть нулевой. Одновременно, угол между этими скоростями не может быть равен нулю, так как силы не могут быть строго перпендикулярны скоростям, всегда есть компонента силы вдоль скорости потока.

Поэтому в пространстве скоростей есть две запрещённые для любого парусного судна области – вблизи направления строго против ветра и вблизи направления по ветру со скоростью, большей скорости ветра. Все остальные положения судна в пространстве скоростей формально разрешены, и ограничения создаёт только невозможность построить идеальный парус и идеальный корпус. В частности, теоретически возможна любая величина скорости движения. Катамараны, движущиеся быстрее ветра в любом направлении, кроме теоретически запрещённых направлений, уже существуют.

На рисунке показана область допустимых скоростей установившихся движений яхты. Граница области – полярная диаграмма. Для катамарана АС – 72 при внешнем ветре – 12 узлов. Системы окружностей те же, что и на рисунке 6.

Переход в пространство перемещений

Навигация

В пространстве скоростей парусного судна по поверхности воды мы находим область скоростей установившихся движений, граница которой является ‘физическая полярная диаграмма’. При заданном внешнем ветре эта область определяется только конструкцией судна, а возможность её достижения — мастерством экипажа.

Если мы интересуемся областью возможных перемещений относительно берега (карты), то необходимо сориентировать полярную диаграмму относительно карты и включить в рассмотрение течение.

Для перехода в пространство перемещений и выбора направления движения относительно берега для решения навигационных задач, нужно произвести следующие действия:

·Определить направление и величину истинного ветра.

·Определить направление и величину течения.

·Для получения яхтенного ветра сложить истинный ветер и переносный ветер от течения.

·Отразить физическую полярную диаграмму, соответствующую этому яхтенному ветру, относительно точки метеобуя, получая, тем самым, ‘навигационную полярную диаграмму’ или использовать готовую навигационную полярную диаграмму для полученного яхтенного ветра, например, от производителя яхты.

· Повернуть полярную диаграмму вокруг точки метеобуя в соответствии с ориентацией яхтенного ветра относительно направления на север.

·Сместить начало отсчёта повернутой навигационной полярной диаграммы на величину вектора переносного ветра от течения. Этим прибавить ко всем скоростям яхты скорость течения.

·Совместить начало отсчёта смещенной навигационной полярной диаграммы с точкой на карте, где находится яхта.

·Выбрать направление движения и определить возможную скорость относительно берега в этом направлении. Если движение в нужном направлении невозможно или не оптимально, то выбрать лавировочные направления и определить долю времени нахождения на каждом из них.

Рисунок иллюстрирует последовательность действий при определении скорости перемещения на карте для данной полярной диаграммы. Навигационная полярная диаграмма повёрнута в направлении внешнего ветра и смещена на величину течения. Начало отсчёта смещенной навигационной полярной диаграммы помещено в выбранное положение на карте. Зеленый вектор – вектор внешнего ветра, синий вектор – вектор течения, темно-зеленый вектор - вектор истинного ветра.

Следует подчеркнуть, что полярная диаграмма в пространстве перемещений, также как и в пространстве скоростей задается величиной и направлением внешнего ветра. В пространстве перемещений от конца вектора внешнего ветра откладывается вектор скорости яхты по поверхности воды (в пространстве скоростей – вектор потока воды, обтекающий яхту). Естественно, что в обоих пространствах возможные области установившихся скоростей судна выглядят одинаково (с точностью до отражения), а полярная диаграмма в пространстве перемещений создается отражением полярной диаграммы из пространства скоростей относительно точки на карте.

Отметим, что в отсутствии течения и при наличии внешнего ветра, яхта может перемещаться в любом направлении. При наличии течения возможны направления относительно берега, по которым перемещения невозможны.

Линии замыкания

Лавировка

Область допустимых скоростей движения парусного судна относительно воды не является выпуклой. Можно построить минимальную выпуклую фигуру, содержащую эту область, дополнив границу несколькими отрезками общих касательных в точках нарушения условия выпуклости. В направлениях, пересекающих эти отрезки, оптимальное движение состоит из двух последовательных движений со скоростями и направлениями, соответствующими точкам касания. Для запрещенных направлений движение в лавировку является единственно возможным. В любых направлениях, где область возможных движений не выпукла, движение в лавировку обеспечивает максимальную среднюю скорость.

На рисунках приведены полярные диаграммы и их линии замыкания при наличии течения. Линии замыкания приведены для области запрещённых направлений движения и для направлений в окрестности фордевинда. Для достижения целей на линии внешнего ветра лавировочные скорости и времена движения в каждом из лавировочных направлений различны. Лавировочные скорости для каждого галса определяются точками касания линии замыкания и являются взаимозависимыми – всегда определяется пара лавировочных скоростей, определив одну из лавировочных скоростей, мы однозначно определяем другую.

Приложение

Для любителей математической строгости приводим краткое математическое приложение, в котором описываются свойства установившегося движения парусного судна.

Двумерное установившееся движение парусного судна по поверхности воды относительно воды и воздуха (или воды и воздуха относительно судна) описывается системой уравнений:

V_a − V_h = V_y

F_a(V_a) + F_h(V_h) = 0

где

V_a — скорость потока воздуха относительно судна — вымпельный ветер

V_h — скорость потока воды относительно судна, скорость судна равна −V_h

V_y — скорость потока воздуха относительно воды — яхтенный ветер

F_a(V_a) — аэродинамическая сила, действующая на надводную часть судна

F_h(V_h) — гидродинамическая сила, действующая на подводную часть судна

Двумерные вектора и линейную связь между ними можно описывать комплексными числами. Вектор силы F, с которой поток действует на тело, определяется вектором скорости V, и коэффициентом формы C, зависящим от ориентации тела в потоке.

F(V) = ½CrS|V|V

где

r — плотность вещества потока, а

S — характерная площадь сечения тела.

F, V и C будем считать комплексными, а r и S — действительными величинами. Введём переменную Ç со свойствами:

|Ç| = Sqrt(|C|)

ArgÇ = ArgC

Тогда уравнение баланса можно будет переписать в виде

Ç_aSqrt(r_aS_a)V_a + Ç_hSqrt(r_hS_h)V_h = 0

и решить уже линейную систему относительно V_a и V_h

V_a = V_yÇ_hSqrt(r_hS_h)) /(Ç_a Sqrt(r_aS_a)+ Ç_hSqrt(r_hS_h))

V_h = −V_yÇ_aSqrt(r_aS_a)) /(Ç_a Sqrt(r_aS_a) + Ç_hSqrt(r_hS_h))

Мы получили решение исходной системы. Рассмотрим общие свойства этого решения:

1. При V_y = 0 V_a и V_h тоже равны 0. Без яхтенного ветра нет движения.

2. Если V_y не равно 0, ни V_a, ни V_h не могут быть равны 0. Если воздух движется относительно воды, невозможно полностью остановить судно или обеспечить штиль на палубе, то есть двигаться относительно воды со скоростью ветра.

3. Свойства решения системы не меняются при перестановке индексов a и h, поэтому любое качественное утверждение относительно скорости одного потока может быть сформулировано в тех же терминах для другого.

4. При действительных C_a и C_h модули V_a и V_h меньше модуля V_y. В этом случае вымпельный ветер V_a направлен вдоль V_y, а поток воды V_h – против V_y. Без подъёмной силы парусов и корпуса возможно только движение по ветру со скоростью, меньшей его скорости

5. Если мнимая часть ImC_a много больше действительной ReC_a и мнимая часть ImC_h имеет другой знак и много больше действительной ReC_h, то есть, углы между направлениями сил и потоков близки к прямым углам разных знаков, тогдаV_a и V_h комплексны. Обычно ArgÇ_h и ArgÇ_a имеют разные знаки, и, формально, знаменатель в выражениях (11a, 11b) может быть сколь угодно близок к 0, и модулиV_a и V_h могут быть сколько угодно велики по сравнению с V_y. Парусное судно теоретически может двигаться быстрее ветра в любом направлении, кроме двух запрещённых — точно по ветру и точно против ветра.

6. Угол между V_a и V_hопределяется исключительно ArgC_h и ArgC_a,

а отношение модулей V_a и V_h— отношением модулей C_a и C_h и отношением характерных площадей парусов и корпуса.

В общем случае коэффициенты формы C_a и C_h сами зависят от скоростей, но эта зависимость становится значимой только при больших скоростях, когда нужно учитывать деформацию паруса или влияние волнообразования на сопротивление корпуса. Действия рулевого могут изменять форму подводной части яхты и коэффициент C_h, а действия экипажа — форму и положение парусов и, следовательно, коэффициент C_a. При этом множество всех возможных решений V_aи V_hзаполняет в пространстве скоростей некоторую область, границу которой обычно называют полярной диаграммой яхты.

Результаты

1. Разработан язык и методы для теоретического исследования движения парусного судна.

2. Развита методика построения полярной диаграммы судна на основе баланса сил.

3. Показано, что полярная диаграмма является границей области возможных установившихся движений судна.

4. Показано, что движения против внешнего ветра и по ветру быстрее ветра запрещены для парусного судна.

5. Развит алгоритм использования полярной диаграммы для целей навигации.

6. В общем виде (на течении и в случае несимметричной полярной диаграммы) развита теория лавировки.

Статья не может претендовать на полное и всестороннее описание всех аспектов теории парусного судна, но авторы надеются, что она описывает роль и место физической полярной диаграммы для понимания причин движения и прикладное значение навигационной полярной диаграммы.

Словарь к статье “Концепции теории движения парусного судна”

Аэродинамическая сила – сила, возникающая от взаимодействия объекта, помещенного в поток воздуха, с самим потоком воздуха. Действует под углом меньше 90º к потоку.

Аэродинамическое и гидродинамическое качество судна – угол между направлением аэродинамической или гидродинамической силы и линией перпендикулярной к потоку. Всегда больше нуля, но меньше 90º.

Аэростат – объект, дающий наглядное представление устройства, связанного с потоком воздуха, не имеющего скорости относительно воздуха.

Баланс аэродинамической и гидродинамической силы – условие равенства по направлению и по модулю аэродинамической и гидродинамической сил, действующих на парусное судно.

Внешний ветер – причина движения парусного судна. Векторная сумма вектора истинного (метеорологического) ветра и вектора переносного ветра от течения. Внешний ветер может быть измерен на метеобуе.

Гидродинамическая сила – сила, возникающая от взаимодействия объекта, помещенного в поток воды, с самим потоком воды. Действует под углом меньше 90º к потоку.

Действующий (вымпельный ветер) – следствие движения парусного судна. Является векторной суммой векторов внешнего ветра и переносного ветра от движения судна по поверхности воды. Действующий ветер может быть измерен на парусном судне.

Истинный (метеорологический) ветер – ветер относительно берега. Ветер относительно яхты, стоящей на якоре. Может быть измерен на берегу или на яхте, стоящей на якоре.

Линия аэростата – линия, определяющая направления, при движении увалистее которых проекция на направление внешнего ветра становится больше модуля внешнего ветра. В пространстве скоростей проводится через начало вектора внешнего ветра перпендикулярно вектору внешнего ветра.

Линия галфвинда – линия, определяющая направление, при движении круче которого появляется проекция на направление внешнего ветра, направленная против направления внешнего ветра. В пространстве скоростей проводится через конец вектора внешнего ветра, перпендикулярно вектору внешнего ветра.

Линия замыкания – отрезок прямой между точками касания касательной линии к границе области возможных установившихся скоростей.

Метеобуй (буй) – объект, дающий наглядное представление устройства, связанного с потоком воды, не имеющего скорости относительно воды.

Навигационная полярная диаграмма - граница области возможных скоростей перемещений яхты по различным направлениям.

Область возможных скоростей установившихся движений – набор точек в пространстве скоростей, для которых возможны установившиеся движения.

Переносный ветер – ветер, возникающий от движения объекта относительно воздуха, обдувающий данный объект, направленный в противоположную сторону движения объекта и по величине равный скорости движения объекта.

Переносный ветер от движения судна – ветер, возникающий от движения судна относительно воздуха по поверхности воды.

Переносный ветер от течения – ветер, возникающий от движения метеобуя относительно берега. Вектор переносного ветра от течения равен по величине вектору течения и направлен в сторону противоположную вектору течения (в сторону буя). Может быть измерен на метеобуе при отсутствии истинного ветра.

Полярная диаграмма - граница области возможных скоростей установившихся движении.

Пространство перемещений – пространство перемещений яхты при заданном внешнем ветре, сориентированное относительно севера. Графическая иллюстрация задается вектором внешнего ветра, сориентированным относительно севера. В этом пространстве каждой точке соответствует перемещение судна по поверхности воды (модуль и направление), сориентированное относительно севера. Этой же точке соответствует перемещение судна по поверхности воздуха (модуль и направление), сориентированное относительно севера, задаваемое вектором, проведенным из конца вектора внешнего ветра.

Пространство скоростей – пространство, задаваемое векторным треугольником относительных скоростей трех объектов – воды, воздуха и парусного судна, нормированных на заданный внешний ветер. Вектор, проведенный от начала вектора внешнего ветра до произвольной точки в пространстве скоростей, есть вектор потока воздуха, действующий на паруса и надводную часть корпуса судна. Вектор, проведенный от конца вектора внешнего ветра до той же точки в пространстве скоростей, есть вектор потока воды, омывающей корпус судна.

Течение воды – направленное движение водных масс. Графическая иллюстрация – задается вектором скорости перемещения метеобуя по поверхности воды.

Установившееся движение – движение, при котором осуществлен баланс сил, в частности, аэродинамической и гидродинамической силы.

Физическая полярная диаграмма – граница области возможных установившихся движений в пространстве скоростей.

Штиль – состояние среды пребывания яхты, когда отсутствует движение воздуха относительно воды.

Яхта – парусное судно для туризма, спорта и отдыха, могущее двигаться острее курса галфвинд.

Литература

[1] Ильин О.А. Стратегия и тактика олимпийских парусных гонок. Москва 2008.

[2] Билл Гладстоун. Настройка гоночной яхты. АЯКС - ПРЕСС, Москва, 2008.

[3] Теодор фон Карман. Аэродинамика. РХД Москва - Ижевск, 2001.

[4] Полярная диаграмма и характеристики Maltese Falcon

http://www.hiswasymposium.com/assets/files/pdf/2004/Dijkstra@hiswasymposium-2004.pdf

[5] Полярная диаграмма и характеристики катамарана AC72

http://www.sailonline.org/st atic/var/sphene/sphwiki/attachment/2014/05/19/Lisboa_TR_and_the_new_SOL_boat.pdf

[6] Король И.Э., Назаров А.Г. Практические расчеты ходовых качеств парусных яхт. // Вестник СевГТУ, Вып.6. Севастополь, 1997. С.32-36.